jueves, 10 de diciembre de 2015

Un problema de física cuántica se demuestra irresoluble

La física cuántica es complicada, de eso no cabe duda. Nos pasamos la vida desarrollando algoritmos y resoluciones analíticas para una multitud de problemas distintos. Algunos de estos problemas son muy comunes en el campo, como calcular la energía del estado fundamental de un sistema o su evolución temporal. Por este motivo muchos grupos se han especializado exclusivamente en desarrollar métodos de cálculo para estos problemas. En última instancia, estos problemas tienen un coste computacional muy elevado (exponencial) y por eso también se trabaja en el desarrollo de ordenadores cuánticos. Sin embargo, para algunos problemas parece que no será suficiente todo ese esfuerzo.

Es sabido desde hace bastante tiempo que no todos los problemas se pueden resolver. Para demostrar algo así sólo basta con encontrar un ejemplo de problema irresoluble. Así lo hizo Alan Turing, padre de la computación. El problema que propuso fue el Problema de la Parada (Halting Problem). El  problema es el siguiente: Dado un programa de ordenador cualquiera, averiguar si terminará o no terminará. La condición es que la resolución se debe hacer de manera algorítmica. Esto quiere decir que no tenemos que solucionarlo para cada posible programa uno a uno, sino que tenemos que programar un ordenador de modo que nos diga de manera autónoma si un programa terminará o no.

La demostración de que este problema es irresoluble de manera algorítmica es bastante sencilla, y la podéis encontrar en este vídeo:






¿Y qué tiene esto que ver con la física cuántica? Tiene que ver porque recientemente unos investigadores han demostrado que esto también ocurre con ciertos problemas de la física cuántica. El problema estudiado se denomina "cálculo del espacio espectral" (spectral gap calculation) y los resultados se han publicado en la prestigiosa revista Nature.

En física cuántica muchos sistemas no aceptan cualquier valor para sus parámetros, en concreto para la energía. De ahí viene el término "física cuántica", de la cuantización de estos parámetros. sin embargo, hay otros sistemas que tienen un continuo de energía como una partícula libre. El "espacio espectral" es entonces la distancia entre el estado de menor energía (estado fundamental) y el siguiente mayor (primer estado excitado). Calcular las energías del estado fundamental y los primeros estados excitados es un problema muy complejo, para el que se han desarrollado muchas técnicas. Sin embargo, el problema estudiado en este artículo es todavía más simple, sólo hay que determinar si el primer estado excitado está separado del fundamental o si forman un continuo. Las dos posibilidades están representadas en la siguiente figura.

A la izquierda un sistema con espacio entre el primer estado y el fundamental, a la derecha un sistema continuo.

Este problema puede parecer sencillo, pero como acaban de demostrar no lo es en absoluto. Como ya he dicho antes, para demostrar que el problema no siempre se puede resolver basta con encontrar un ejemplo. Esto es lo que hacen los autores usando un sistema muy típico en materia condensada, una red de espines. La demostración es muy laboriosa, tanto que los autores la han subido a arXiv y ocupa 146 páginas (incluye introducciones y 56 teoremas).

La idea detrás de la demostración no es tan compleja. Básicamente los investigadores consiguen codificar cualquier programa (información clásica) en el estado cuántico de un sistema. Entonces demuestran que averiguar si el sistema tiene o no espacio entre el estado fundamental y el primer estado excitado es equivalente a averiguar si el programa codificado en el sistema terminará o no. De esta manera consiguen demostrar que ambos problemas son equivalentes, y si el Problema de la Parada es indecible, el otro también debe serlo.

Esto no implica que para un caso concreto no podamos resolver el problema, implica que no hay un algoritmo definitivo que resuelva todo esta familia de problemas. Lo más interesante es que demuestra que lo que en un día fue una idea puramente matemática tiene aplicaciones en el mundo real, como suele ocurrir. 

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