lunes, 2 de marzo de 2015

La no-conservación de la energía en sistemas cuánticos dependientes del tiempo

Recientemente leí en un blog afín, Cuentos Cuánticos, un interesante post que me llamó la atención. Se titulaba la conservación de la energía en mecánica cuántica (o no). El autor es Álvaro Peralta, físico experto en láseres, y trataba un tema interesante. Otro blog clásico, el de Francis, le respondió empezando un fascinante debate (energía cinética negativa y efecto túnel cuántico). 

Como ya comenté en el post original uno de los temas del debate sí creo que lo puedo clarificar, y por eso escribo este post. He de advertir que es muy técnico, y tiene bastantes fórmulas, pero es lo que tienen las discusiones entre físicos.

La cuestión es que las simulaciones que menciona Álvaro en su post no conservan la energía, indicando una aparente violación de uno de los principios más fundamentales de la ciencia, el principio de conservación de la energía. También menciona sus experimentos, pero por ahora me quiero centrar sólo en el tema de las simulaciones. 


Las simulaciones que se comentan en el post tienen una particularidad, utilizan una aproximación semiclásica dependiente del tiempo. En sistemas cuánticos mixtos la evolución temporal está determinada por el Hamiltoniano del sistema y viene dada por la ecuación de von Neumann (omitimos $\hbar=1$). 

$$\dot{\rho}=-i\left[H,\rho\right]$$

El Hamiltoniano $H$ es el operador que se corresponde con la energía total del sistema. En un análisis puramente cuántico este es un operador atemporal, que no varía con el tiempo, pero en la aproximación semiclásica mencionada en el post la cosa cambia. Para modelar el movimiento de un pulso láser que interacciona con un átomo se le introduce una dependencia temporal del frente de ondas. Eso equivale a hacer dependiente del tiempo el Hamiltoniano del sistema $H=H(t)$.  


Esta dependencia temporal lo cambia todo, y se puede comprobar que la energía del sistema no es la misma al comienzo de la evolución $(t=-\infty)$ que al final de la misma $(t=\infty)$. ¿Supone esto una violación del principio de conservación de la energía? En absoluto. En termodinámica cuántica tratamos estos casos con bastante frecuencia y es una consecuencia medible de la dependencia temporal del Hamiltoniano. 

La energía media de un sistema cuántico puede ser calculada a partir de la matriz densidad $\rho$ que define su estado. 

$$\left<E \right>= \text{Tr} \left[H\rho\right] $$

Así la energía inicial del sistema viene dada por

$$\left<E\left(-\infty\right) \right>= \text{Tr} \left[H(-\infty)\rho(-\infty)\right].$$

Podemos a partir de esta expresión calcular la evolución temporal de la energía media del sistema con sólo calcular la derivada. 

$$\frac{d}{dt}\left<   E (t)\right>= \text{Tr} \left[ H \frac{d\rho}{dt}\right] + \text{Tr} \left[ \frac{dH}{dt} \rho \right], $$

donde hemos omitido las dependencias temporales de $H(t)$ y $\rho(t)$ por simplificar. Si el sistema tiene una evolución puramente debida al Hamiltoniano (como debe de ser si no hay aproximaciones como sistemas abiertos) el primer término se elimina. El segundo término nos da la variación de la energía del sistema debido a la dependencia temporal del Hamiltoniano. 

Está claro viendo esta expresión que la energía no se debe conservar, pero además podemos calcular la variación explícitamente si conocemos el estado del sistema en cualquier momento. La energía media del sistema en un tiempo arbitrario viene dada por

$$ \left<E(t)\right>= \left<E(-\infty)\right>+ \int_{-\infty}^t \text{Tr} \left[ \frac{dH(\tau)}{dt} \rho(\tau) \right]  d\tau. $$

Y de ahí viene la variación de energía de las simulaciones. ¿Qué significa esto? ¿Se viola o no la conservación de la energía? Evidentemente no. Un sistema cuántico real y aislado tendrá siempre un Hamiltoniano sin dependencia temporal, y su energía no varía. La dependencia del tiempo del Hamiltoniano es un artificio, pero no es algo que ocurra realmente. Se utiliza mucho para modelar un sistema que está conectado a otro sistema exterior que puede absorber o proporcionar energía. En termodinámica cuántica se relaciona mucho con un trabajo realizado en el sistema, pero esos son cuestiones de definición un poco espinosas. 

Otro tema diferente es qué ocurre realmente en el experimento. Eso es otra historia y debe ser discutida en otro momento. 




6 comentarios:

  1. Hola!

    Está genial toda la serie de debates que estamos manteniendo con motivo de la "conservación de la energía" :-) Un par de precisiones a tu post.

    1.- Uno de los problemas que tenemos es que H depende del tiempo. Ahora bien como modelar la interacción de un átomo con un pulso láser usando un H que no dependa de t? O dicho de otra forma, como conseguir definir un pulso láser mediante una función que no dependa de t? A mí personalmente no se me ocurre ninguna forma.

    2.- La necesidad de recurrir a una fuente de energía externa, es decir interpretar que el sistema no es aislado es algo que no me acaba de convencer. Me explico. Usando el mismo formalismo, con el mismo H pero en vez de usar un láser fuera de resonancia, lo sintonizamos con la resonancia, la energía se conserva sin problemas. Es decir, simplemente cambiando un parámetro experimental como es la frecuencia del láser, tengo que hacer uso o no de esta fuente externa para explicar la conservación de la energía? Esto no me cuadra demasiado.

    3.- Relacionado con el punto anterior están los experimentos. A la hora de hacer los experimentos, los átomos se consideran aislados, de hecho viajan en un jet supersónico habitualmente, y no interaccionan entre ellos. Es decir las únicas fuentes de energía son: el láser, los átomos y la interacción.


    Un saludo!

    Álvaro

    PD: Ligado a esto de la "conservación de la energía" está el tema de la energía cinética negativa y demás en el efecto túnel. Francis ha "amenazado" con un "contrapost" a mi respuesta a su post. Esto se pone interesante! :-)

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    1. Buenas, Álvaro. Vamos por partes pues.

      1. Eso no lo sé, la verdad. Lo cierto es que el sistema se debe poder describir de manera independiente del tiempo, pero como este no es mi campo no tengo ni idea de como se haría. Eso sí, si se puede describir el sistema con un Hamiltoniano independiente del tiempo la energía se conserva sí o sí, no hace falta saber qué Hamiltoniano es para afirmarlo.

      2. Eso es algo que ocurre mucho. Lo de la fuente de energía es sólo una interpretación que usamos en termodinámica cuántica, lo correcto es decir que la dependencia temporal del Hamiltoniano cambia la energía. Si queremos darle a esto también una interpretación se puede ver así: Al interaccionar el frente de ondas con el átomo se puede afectar la propagación del pulso (puede, p. ej., ceder energía al átomo y reducir su energía cinética). Si lo fuerzas a tener un movimiento definido estás cambiando la energía del sistema completo (átomos+luz).

      En cuanto a lo del parámetro es algo que pasa bastante. De hecho en termodinámica cuántica se suele optimizar para conseguir el mayor cambio con un Hamiltoniano dado. Volviendo a la interpretación es de esperar que el pulso se vea afectado de manera diferente si está en resonancia o si no, y por eso forzarlo a seguir su camino tiene diferentes efectos.

      3. Los experimentos son otro cantar. Las simulaciones son eso, simulaciones, y si ahí no se conserva la energía no nos dice nada sobre el sistema en sí. Ahora, si en el experimento hay cambios en la energía ya tenemos algo más serio. Ahí tendría que mirar el experimento con más detalle para pronunciarme.

      ¡Saludos!

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  2. Antonio (AKA &quot;Un físico&quot;)3 de marzo de 2015, 0:33

    Todo este asunto me deja atónito: si Álvaro cree que en su experimento no se conserva la energía, pues que lo publique y que reciba todos los honores por semejante descubrimiento (si es que se los dan).

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  3. Me parece que Álvaro lleva desde el comienzo buscando dónde está la respuesta al problema. Y es una gran excusa para ver cómo funciona un poco un "debate" a estos niveles.

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  4. Álvaro Peralta @ribap3 de marzo de 2015, 13:35

    Hola,

    vayamos por partes.

    1.- Con respecto al comentario de Antonio, no es tanto lo que yo crea o deje de creer, es más un asunto de que los experimentos parecen indicar, y digo parece, que algo no va bien en la descripción mecánico cuántica que estamos realizando. Hay un error que se pone de manifiesto en las condiciones de CPR. Ese error es como menciona Daniel la introducción de una dependencia temporal arbitraria en el H. Pero es que no lo sabemos hacer mejor! En cuanto a la publicación aunque tengo mucho material que sería publicable aún nos falta tener una hipótesis plausible.

    2.- Para Mars attack. Tienes razón. No sé cual es la respuesta a la pregunta que planteaba en el blog. Tengo ideas, intuiciones pero por desgracia ninguna certeza. Y el problema es que para cerciorarme necesito tiempo del que ahora mismo no dispongo. Así que solo puedo trabajar en este tema en mis "ratos libres". Por otro lado estoy más que sorprendido, muy gratamente, de los debates que se están generando a raíz de mi post.

    Un saludo!

    Álvaro

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    1. Antonio (AKA &quot;Un físico&quot;)4 de marzo de 2015, 5:22

      Yo no puedo aportar, en positivo, más de lo que dije. Para mí es más plausible que en el experimento haya una disipación, a que no se cumpla la conservación de la energía. (En libros como ese de Schieve de estadística cuántica enseñan a simular esa disipación). (No puedo aportar más porque no entiendo el experimento; más o menos sé de qué va, pero tendría que estar en ese laboratorio para ver qué pasa).

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